54 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



dans son Mémoire sur les groupes kleinéens, avait été conduit à 

 diviser l'espace en une infinité de régions se déduisant les unes 

 des autres par une transformation isogonale. Mais le mode de 

 transformation adopté par M. Poincaré conservait un plan fixe 

 réel, tandis que cjelui de M. Goursat fait revenir sur elle-même une 

 sphère imaginaire. 



Le problème qui consiste à trouver toutes les transformations 

 isogonales assujetties à cette dernière condition revient à la déter- 

 mination des groupes d'ordre fini de substitutions linéaires ortho- 

 gonales à quatre variables. On obtient de tels groupes en com- 

 binant les substitutions de deux groupes d'ordre fini de substitu- 

 tions linéaires non homogènes à une seule variable. Ce résultat 

 est connu, mais M. Goursat fait ressortir un point qui n'avait pas 

 été remarqué jusqu'ici : c'est qu'il n'est pas nécessaire d'associer 

 chaque substitution de Tun des groupes avec toutes les substitu- 

 tions de l'autre groupe. 



Dans la première partie de son mémoire, l'auteur établit un 

 certain nombre de propositions générales sur les transformations 

 qui conservent les angles et sur les substitutions orthogonales. 



Dans la seconde partie, il indique le moyen de former tous les 

 groupes d'ordre fini de substitutions orthogonales à quatre 

 variables, et il énumère tous les groupes de substitutions à deux 

 variables d'une certaine forme qui leur sont isomorphes. 



Dans la troisième partie il fait une étude approfondie de la dis- 

 position des régions de l'espace qui se correspondent mutuellement 

 à l'aide des transformations isogonales qui conservent une sphère 

 imaginaire, lorsque ces régions sont des tétraèdres à faces sphé- 

 riques. 



Enfin, dans la quatrième partie, M. Goursat établit des rappro- 

 chements entre certaines parties de ces recherches et la géométrie 

 non euclidienne ou la théorie des polyèdres réguliers de l'espace 

 à quatre dimensions. 



Sur la rectification des cubiques planes unicursales, par M. Raffy. 

 [Annales de V Ecole normale, 3^ série, t. VI, 1889, p. io3-i44)- 



Étant donnée une courbe plane unicursale de degré m, l'arc de 

 cette courbe s'exprime, en fonction du paramètre t qui corres- 

 pond uniformément aux points de la courbe^ par une intégrale 



