ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 55 



hyperelliptique qui, en général, est du genre im — 3. Ce genre, 

 qu'on peut appeler genre de rare, est susceptible d'abaissement 

 par l'effet de certaines singularités. 



M. Raffy détermine toutes les cubiques unicursales dont l'arc 

 est d'un genre inférieur à 3 et toutes celles qui sont rectifiables 

 algébriquement ou en termes finis. 



Son mémoire est divisé en quatre chapitres. 



Dans le premier, il indique les singularités qui diminuent le 

 genre de l'arc pour une courbe unicursale quelconque et en par- 

 ticulier pour les cubiques. Les résultats qu'il obtient sont compris 

 dans les quatre énoncés que voici : 



1° Si un point situé à distance finie est l'origine d'un cycle à tan- 

 gente isotrope, d'ordre n et de classe v, le genre de l'arc est dimi- 

 nué de n — 1 plus la partie entière de-. 



2 



2° Si un point situé à distance finie est l'origine d'un cycle à 

 tangente non isotrope, d'ordre ??^ le genre de Tare est diminué 

 de n —1. 



3° Si une courbe admet une direction asymptotique non iso- 

 trope, et si au point à Tinfini dans cette direction correspondent 

 n valeurs égales du paramètre t, le genre de l'arc est diminué 

 de 71 — 1. 



4° Si l'un des points cycliques est l'origine d'un cycle de classe 



V, et si à ce point correspondent n valeurs égales du paramètre t, 



le genre de l'arc est diminué de n — i plus la partie entière de 



w -f- '^ . 1 , 



, SI l asymptote isotrope tangente au cycle est située à dis- 



fi V 



tance finie; il est diminué de n — i plus la partie entière de 



si cette asymptote est rejetée à l'infini. 



Appliqués aux cubiques, ces quatre théorèmes fournissent les 

 cinq singularités qui diminuent le genre de Parc : i° rinûexion à 

 tangente isotrope; 2" le rebroussement à distance finie; 3^ le con- 

 tact simple avec la droite de l'infini ou l'existence d'une asymp- 

 tote double ; 4° l'existence de branches paraboliques formant 

 inflexion ou rebroussement à l'infini ; 5° le passage par les points 

 cycliques. 



Dans le chapitre 11, Tauteur étudie en détail les cubiques dont 

 l'arc est de genre 0, 1 ou 2. — Les cubiques dont l'arc est de 

 genre zéro appartiennent à quatre types : 1° les lignes de cour- 

 bure de la surface d'Enneper (seules cubiques à courbure 



