ANALYSES ET ANNONCES. - MATHÉMATIQUES 59 



Ce reste R/i est compris entre les deux limites suivantes 



kznm — l 



pi! 2 ep»(« + J + M) 



sous la condition très générale que la somme 



y^ [ f'2n (« _^ M + AO + P" )a -{-kh-{-h-ht)] 



k=zO 



conserve toujours le même signe (celui de s =z + i) et décroisse 

 lorsque t croît de o à ^. 

 Si Ton suppose 



5 pn (a-}--i-kh\> r zf^(a-\-- + kh-{- ht) dt, 



comme cela a lieu, par exemple^ lorsque £ /"-" [ a -| 1- z j est 



une fonction positive décroissante entre z z= o et z zz: 6 — a, on 

 pourra écrire : 



R„ = - (- 1 )" ^-jq f " [P— ' (è + ^h]-pn- . ;a + eA)] (0 < 6<i). 



Cette expression du reste remplacera avec avantage celle qu'a 

 donnée Jacobi. Ainsi la formule de Jacobi donne 



et celle de M. Sonin 



r (i + a-) = \/ir. cr^'+s e~^+r2^ (o < 6 < i). 



Extrait d'une lettre de M. Sonin a M. Hermite. {Annales de V Ecole 

 normale, 3® série, t. VI, 1889, P- 260-262.) 



Établissement direct de la formule 



log r (a?) = - log 2 7: -{-{x I \o^x — x-\ -x~^ — ^^ 0?"""^ + ... 



2 \ 2/ 1.2 O.-j. 



