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Introduction a une théorie élémentaire des intégrales elliptiques, 

 par M. Lerch. (Annales de V Ecole normale, t. VI, 1889, p. 263.) 



L'auteur développe une théorie des intégrales et des fonctions 

 elliptiques où la^ notion d'intégrales curvilignes se trouve exclue 

 et remplacée par celle de coupure, suivant la méthode géné- 

 rale indiquée par M. Hermite. 



Il introduit à cet effet la fonction uniforme 



f*i X dt 



^ix)— I / 



^^ ^ jQsJ[i-t'x')[i—]cfx') 



qui, lorsque x est fini, reste finie et déterminée pour toutes les 



valeurs de t comprises entre et 1. Cette fonction est discontinue ; 



elle admet quatre coupures (i), (11)^, (m), (iv), joignant respective- 



1 1 



ment les points 1, y, — 1, — y au point qo . 

 k k 



L'expression uniforme $ [x] définit une fonction analytique 

 multiforme u (intégrale elliptique) n'ayant que quatre points cri- 



tiques + », i t- Lorsque la valeur de u, au voisinage d'une des 

 fî 



coupures (i), (it), (m), (iv) est $ (.t), elle sera donnée, sur le bord 

 opposé de la coupure, par l'expression 2c — ^ [x), si l'on assu- 

 jettit la fraction u à rester continue. Les valeurs de c correspon- 

 dant aux coupures (i), (11), (m), (iv) sont respectivement 



K, K\ — K, — K' 



K" étant égal à ^k[^1. 



Sur le développement des fonctions satisfaîsamt a une équation 

 différentielle algébrique, par M. Hurwitz. [Annales de l'Ecole 

 normale, y série, t. VI, 1889, p. 327-332.) 



M. Gomes Teixeira avait énoncé dans les Amiales de V Ecole nor- 

 male de 1887, le théorème suivant qui est une générahsation d'une 

 proposition bien connue d'Eisenstein : 



La série 



yrzûfo -{- «l'a?-]- a,^x^ -\-... -\- anX^ -{-..., 



