62 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



et si l'on pose 



de dg de àg 



'^[^9 — n '^i^g—n 



la condition néeessaire et suffisante pour qu'un système de courbes 

 tracées sur la sphère soit la représentation des lignes asympto- 

 tiques d'une surface, est que 



àG_ÔD 



du àv 



Cette condition étant supposée remplie, on pourra déterminer 

 une fonction X de u et v, dont les dérivées partielles soient — 2D 

 et — 2C; et, en posant 



on déterminera les coordonnées, x, y, z d'un point de la surface 



par les formules 



àx , àx , àx 



— :ii hf lie — 



du ou àv 



àx . ôa àx 



et les deux autres couples de formules analogues. Ainsi, lorsque 

 la représentation sphérique des lignes asymptotiques est donnée, 

 les surfaces correspondantes peuvent être obtenues par des qua- 

 dratures. 



Quant aux congruences, la représentation sphérique de leurs 

 développables peut former un système de courbes quelconques. 

 Si l'on suppose que les surfaces réglées u = const, v =: consl, 

 soient les développables de la congruence, la distance p du point 

 central à l'un des foyers devra satisfaire à l'équation de Laplace 



ô> ôp ^à_p /ÔG ÔD \_ 



àuàv au àv \àu àv ) ~' 



On peut se donner arbitrairement la représentation sphérique 

 d'une congruence. Pour déterminer la congruence correspon- 

 dante, il faudra résoudre cette équation ; le problème s'achèvera 

 par une quadrature. 



Si l'on veut que les développables de la congruence découpent 

 sur la surface centrale un réseau conjugué, il faut et il suffît que 



