66 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



tégrales lorsque la variable décrit an contour autour des points 

 singuliers. On peut chercher, comme l'ont fait MM. Fuchs et Ham- 

 burger, à calculer numériquement les coefficients de ces substitu- 

 tions au moyen des paramètres de l'équation différentielle. On 

 peut se placer à un autre point de vue^ celui de la théorie des 

 fonctions. C'est ce qu'a fait M. Poincaré dans un mémoire sur les 

 équations linéaires {Acta mathematica, t. IV), où il a montré que 

 les groupes de substitutions dépendent de certaines fonctions des 

 paramètres qu'il a appelés invariants fondamentaux. 



C'est l'étude de ces invariants et de leurs propriétés qui fait 

 l'objet du travail de M. Vogt, divisé en trois parties. 



Dans la première, l'auteur cherche à exprimer les coefficients 

 du groupe au moyen des invariants fondamentaux supposés con- 

 nus et à en déduire les invariants de toutes les substitutions; il 

 met en évidence les relations qui existent entre les invariants et 

 les polygones fuchsiens. 



Dans la deuxième partie, il étudie les invariants comme fonc- 

 tions des paramètres de l'équation différentielle, ces fonctions dé- 

 pendant de certaines autres analogues au logarithme et dont il 

 fait connaître les propriétés. 



Dans la troisième partie, il étudie les paramètres de l'équation 

 différentielle comme fonctions des invariants ; il montre en par- 

 ticulier comment on peut d'une équation différentielle déduire 

 toutes les autres équations qui ont mêmes points singuliers et 

 mêmes invariants fondamentaux. 



Sur les séries de M. Lindstedt, par M. Poincaré. [Comptes rendus 

 de VAcad. des sciences, t. CVIII, 1889, P- 21-24.) 



On rencontre fréquemment en mécanique céleste l'équation 



où n est un nombre incommensurable, \). un paramètre très petit 

 '^ une somme de termes de la forme suivante 



'b (p, x) - 2j A ^^^-j-^ cos [Xx +-a). 

 M. Lindstedt a proposé, pour intégrer cette équation, des séries 



