ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 109 



faces de Riemann hyperelliptiqaes des expressions Q {x, y) qui 

 ont l'importance de formes principales en ce sens qu'elles ont sur 

 la surface la seule racine x zzy, cette racine étant simple, et 

 qu'elles ne deviennent jamais infinies. 11 étend ce résultat à la 

 surface de Riemann la plus générale. 



Sur le développement en série de certaines fonctions arithmétiques, 

 par M. Lerch. {Comptes rendus de VAcad. des sciences^ t. CVIII, 

 1889, p. 171-174.) 



L'auteur indique une démonstration nouvelle de la formule de 

 M. Hermite 



n — 1 

 SE(^ + -") = E[n4 



généralisée par M. Stern sous la forme 



OÙ d représente le plus grand commun diviseur des nombres m 

 et n. 



Le mode de démonstration employé par M. Lerch lui fournit en 

 outre un grand nombre de développements arithmétiques nou- 

 veaux, plus ou moins analogues à celui de M. Stern, et dont dé- 

 coulent les conséquences suivantes : 



Si l'on désigne par R(a?) le reste qu'on obtient en retranchant 

 de X l'entier le plus approché, sauf quand a? = 4 + entier, auquel 

 cas on doit prendre R(a?) zn 0; par sgn R(a?) l'une des quantités 

 + 1, 0, ou — 1, suivant que R(a?) est positif, nul ou négatif; par 

 a un des nombres 0, 1, 2, m, n — 1 ; les sommes 



S(")|«("+?)l 



sont indépendantes de rw, pourvu que m soit premier avec n qui 



