122 REVUE DÈS TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



où a^, flj, ... a^ sont des fonctions arbitraires de x, se trouvent 

 celles des lignes géodésiques tracées sur une surface quelconque. 

 Elles forment un groupe distinct, défini par cette condition que 

 les quatre équations linéaires par rapport aux trois inconnues t^^, 



ày dx 



t:^' + 2 r-' 4- 2 [a, ^^ — ia^ ^, + a'^^) zz o, 



dx oij 



1~ + 2 {a, ^2 - «2 ^3) 



ày 



admettent une solution. 



Alors l'élément linéaire est donné par la formule 



ds^ z=z (q>. dx^ -f 2'J^„ dx dy -\- ^^ dy*), 



OÙ C est une constante arbitraire. 



Quand le système des quatre équations linéaires admet deux 

 solutions, l'élément linéaire est réductible à la forme de Liouville 

 ou à celle de Lie. Soient dans ce cas (^i,4'2î4^3) ^^ (^1)^25^3) ces 

 deux solutions, le rapport 



^^ dx'' -f 2'li^dx dy-{- ù^ dy' 

 Wi dx- -\- 2^i*^dxdy-{- ^3 dy' 



égalé à une constante est une intégrale de l'équation aux géodé- 

 siques, et l'intégration complète se trouve ainsi terminée, sans 

 qu'il ait été nécessaire de fixer le choix des variables a?, y. 



Recherches sur les surfaces qui sont en même temps lieux de 



CONIQUES ET ENVELOPPES DE CÔNES DU SECOND DEGRÉ, par M. BlUTEL. 



[Comptes rendus de VAcad. des sciences^ t. GVIII, 1889, p. 496- 

 498.) 



Un cône du second degré dépendant d'un paramètre variable 

 est coupé par un cône infiniment voisin suivant une courbe du 



