ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 125 



irréversibles et renoncer pour cela aux hypothèses familières de 

 la mécanique rationnelle d'où Ton a tiré les équations de Lagrange 

 et de Hamilton. » 



Sur certaines expressions quadruplement périodiques dépendant de 

 DEUX VARIABLES, par M. PiCARD. [Comptes rendus de VAcad. des 

 sciences, t. CVIII, 1889, p. 557-559.) 



M. Picard envisage des séries trigonométriques dépendant de 

 deux variables complexes et présentant une grande analogie avec 

 les séries trigonométriques d'une variable que l'on rencontre dans 

 la théorie des fonctions elliptiques. 



Telle est la série 



où l'on suppose w,a)', a,a', ^,(3', réels et ag' — a'p ;zf o. 



Cette expression est quadruplement périodique ; on a, pour x 

 et y, le tableau suivant de périodes simultanées 



X I u) G ^ H i, 

 y \ o lù' G'i H'?:, 



les G et H étant définis par les équations 



a G + PG' = 2z, a H + gH' = o, 

 a' G -f- 3'G' = 0, a^ H + P'H' zz 27:. 



Il en résulte que les six quantités réelles w, w', G, G', H, H' 

 peuvent être prises arbitrairement. Ceci montre que l'expression ( 1 ) 

 ne peut être une fonction analytique de x et y se comportant, 

 pour tout système de valeurs finies de x et y, comme une fonction 

 rationnelle. Il y a, en eff'et, pour la série (1) des surfaces de singu- 

 larités essentielles correspondant à 



et à 



o^'x''+^'y"=z{2k+i)i:, 



h et k désignant des entiers quelconques, x" et y" les coefficients 

 de la partie imaginaire des variables complexes x et y. Ces sin- 

 gularités essentielles empêchent le prolongement analytique de 



