AM ALY8ES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 439 



Il restait à trouver les modes de construction propres aux cas 

 exceptionnels et à classer ces cas qui constituent les singularités 

 du type d'équations considéré. 



Pour cela, l'auteur fait un usage continuel du système 



( dz — pdx — qdij i= o 

 (3) ) dj) + (P>+ Q"^ -f R"z) dx-^[F'p + Q'^ +R'z) dy — o 

 ( dq + (V'p -YQ'q -^ Vc'z) dx \- {Fp -[- Qq -\-Rz) dy — o, 



dans lequel x et y sont deux variables liées entre elles par une re- 

 lation qui n'est pas donnée; z,p,q, trois inconnues fonctions d'une 

 seule variable indépendante ; F, Q, . . . , R" des fonctions déterminées 

 de x, y. 



A ce système se rattache d'une manière invariante l'équation (i), 

 lorsque l'on pose 



Car, si l'on voiilait isoler z, il faudrait, en différentiant les équa- 

 tions du système (3), former une équation linéaire dont l'ordre 

 est en général le troisième, mais s'abaisse au second lorsque 

 l'équation (i) est vérifiée et cette propriété subsiste évidemment 

 après l'une des transformations (2). 



C'est la considération du système linéaire associé qui a permis 

 à M. Liouville de distinguer les cas remarquables que peuvent 

 présenter les équations du type (i). 



Ces distinctions conduisent à la solution du problème suivant. 



Étant donnée une équation du type (1), reconnaître s'il existe 

 une substitution 



X = f{x,y), Y— <D[x,y) 



telle que^ dans l'équation transformée 



d\d'Y - dY d'X-{- k,dY' -^ik.dX' d\ ^?>k^dY d'\-\- k, d\' — 0, 



les coefficients Aj, ...jA^, ne renferment point l'une des variables; 

 et quand cette substitution existe, la calculer ainsi que l'équation 

 transformée correspondante. 



La solution de ce problème fournit une classe étendue d'équa- 

 tions différentielles dont on sait abaisser l'ordre par un change- 

 ment d'inconnue évident. 



Une seconde application concerne les équations réductibles à la 

 forme 



(4) g + xr+'+x,</=o, 



