ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 509 



et qu'on prenne pour nouvelles variables 





le ds^ sera ramené à la forme de Liouville 



ds'=[f{x' + y')-g{x'-y')]dx'dy'. 



Si l'on suppose que le ds^ ait été donné sous la forme de Liou- 

 ville 



[A,{x,) — 'B^{y^)]dxdy, 



X -{- y X — y 



et qu'il puisse prendre une seconde forme de Liouville par la 

 transformation (2), l'équation (1) qui détermine les coefficients de 

 transformation A et B devient 



(A, - B J (A'' - B'O + (A - B) (A", - B/') 



+ 1, (A' - B') A/ - A (A'+ B') B/ =0. 



Représentant par M toute surface dont le ds^- jouit de cette pro- 

 priété, M. Kœnigs énonce, entre autres, les théorèmes suivants : 



L. Soient (A^ — BJ dxdy le ds^ d'une surface M, A et B un couple 

 de transformation de ce ds'-, le ds' exprimé par 



(A-B)fo,rfy, 



appartient aussi à une surface M, et A^ B^ constituent un couple 

 de transformation de ce nouveau ds". 



IL On peut ajouter une même constante aux coefficients de 

 transformation d'un ds", sans qu'ils cessent d'être les coefficients 

 de transformation de ce ds^-. 



Ces ds' sont conjugués. Du c?^* d'une surface M donnée, on peut 

 déduire sans calcul deux familles de ds' de surfaces M, savoir une 

 famille dont fait partie le ds* et la famille des ds"' conjugués. On 

 peut ensuite, au moyen de quadratures,, en déduire toute une 

 chaîne de ds' contenant de nouvelles constantes et convenant à 

 des surfaces M. 



