510 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Sur les éléments linéaires doublement harmoniques, par M. Raffy. 

 [Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. ClX/iSSg, p. 609-611.) 



M. Darboux a signalé ce problème : trouver tous les éléments 

 linéaires réductibles de deux manières à la forme de Liou ville, et 

 il l'a ramené à la recherche de quatre fonctions X de a?, Y de y, 

 de X -\-y et/'de x — y satisfaisant à l'équation indéterminée 



(1) (X' - Y") (î - /■) + 3 (X' -Y') î' - 3 (X' + Y') f 



+ 2(X-Y) (î"-/'") = o. 



M. Raffy remarque la réciprocité de cette équation : connaissant 

 quatre fonctions X(a?), Y(?/), ©(a? -f- ?/)> f[x — y) qui la vérifient, on 

 en obtiendra une nouvelle solution en prenant pour ç, /"^.X, Y res- 

 pectivement les fonctions 



L'auteur signale une deuxième propriété de la même équation. 

 Etant donné l'élément doublement harmonique 



[^{x'^y']-f{x'-y')^dx'dy', 



si l'on connaît deux transformations distinctes, savoir 



dx' , dy' , dx' , dy' 



dx =—==:, dy — ~^ et (^ç = --=, dT^—~ 



v/x, v/y, v/s, v/h, 



qui lui donnent, l'une la forme harmonique S, l'autre la forme 

 harmonique S, on passera de S à S en posant 



VX V Y ^^1 ^1 



On a donc, en adjoignant à X et à Y ainsi définis les valeurs de 

 9 et de /"qui figurent dans S, une nouvelle solution de l'équa- 

 tion (1). 



En appliquant ce principe à l'élément linéaire des surfaces à 



dx' dy' 



courbure constante ^- ^, et en désignant par R(.2'), ^i[x') 



[x' — y'f 



deux polynômes arbitraires du 4" degré en x\ on trouve pour X, Y 



les expressions 



