ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 513 



suivant les puissances de w 



A = œ» + V,a)«-i -f ... + V«_io) + Vn, 



on sait que les coefficients V^, ..., V„sont des invariants, indépen- 

 dants non seulement de la forme du contour, mais de plus du 

 point à?o et du choix des intégrales fondamentales. 



M. Mittag-Leffler donne, sous une forme nouvelle^ l'expression 

 de ces invariants. 



Ils peuvent être développés en séries convergentes suivant les 

 puissances entières et positives des coefficients des polynômes 



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numérateurs ^^{x), ..., Pn(a?)^ et de la quantité ^-, X désignant un 



nombre entier positif, qu'on peut choisir arbitrairement à condi- 

 tion de le prendre égal ou supérieur à un entier positif donné a^. 

 Les coefficients de ces séries, qui peuvent être déterminés par 

 voie de récurrence, sont tous des fonctions rationnelles des affixes 



des points singuliers et de la quantité e >^ , avec des coefficients 

 entiers. 



Sur les surfaces dont le ds^ est réductible de plusieurs manières a 

 LA FORME DE LiouviLLE, par M. KcENiGS, {Comptes rendus de l'Acad. 

 des sciences, t. CIX, 1889, p. 639-641.) 



Dans sa précédente communication sur le même sujet, l'auteur 

 a indiqué sommairement une méthode pour déduire d'un élément 

 réductible à la forme de Liouville d'autres éléments jouissant de 

 la même propriété. Tous les ds' qu'on peut déduire de cette ma- 

 nière du ds" du plan rentrent dans la forme générale 



[^ [x -{-y) — ^ [x -y)]dx dy, 

 où l'on a posé 



^_ A;)H^) + B;^n^) + C/W + Dp(3) + E 



A, B, C, D, E étant des constantes. Ces ds' reprennent la forme 

 de Liouville si Ton prend pour variables 



J \/p (x) -f A J v/(p + A) iip' - 9,p — g.S 

 On retombe ainsi sur un type identique au type iVoù l'on est 



