ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 575 



M. Cesaro démontre à ce sujet la proposition suivante : 

 Lorsque l'expression 



tend vers une limite X finie et déterminée et que le rapport — 



Vn 



tend vers zéro en décroissant, l'expression (i) tend aussi vers cette 

 même limite X. 



Par exemple, u^ -\- u^ + ••• étant une série divergente dont les 

 termes tendent vers zéro en décroissant, on a 



^. a.u.-\-a^u^-\-...^anUn ,. a^-\-a^-\- ... -\- an 

 hm -!— i-^ — ^-^— ^ -^ — hm -^— ^ — —^ ■ — 



u^-\-u^-Y ... -{-Un n 



pourvu que le second membre existe. 



Si l'on remplace la variable entière n par une variable conti- 

 nue X, on est conduit au théorème suivant : 



Si les fonctions ©(a?) et d'fa?) croissent indéfiniment avec x et 

 si le rapport de leurs dérivées tend vers o en décroissant, on a 



lim -rf<^'dxz=z[im^-ffà'dx, 



pourvu que le second membre existe. Ce théorème, qu'on établit 

 immédiatement par la règle de l'Hospital lorsque f tend vers une 

 limite, est encore vrai lorsque /n'admet pas de limite. 



Sur la multiplication des séries trigonométriques, par M. Bourlet, 

 [Bull, des sciences mathématiques, i^ série, t. XIII, i''« partie, 

 1889, p. 55-64.) 



Étant données deux fonctions ^(O), f^i^) que Ton suppose dé- 

 veloppables en séries de Fourier ainsi que leur produit 



(1) f, (0)=- -f-rti cosô + />, sinO + 



(2) /; (0) = - 4 a, cos + 3t sin + 



/. (0) h (^) = 7 + -^i c^s + ^' ^^" ^ + 



