576 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



existe-t-il une règle pour effectuer le produit de ces deux séries, 

 c'est-à-dire une règle qui permette de calculer les coefficients A, 

 B en fonction des coefficients a, ô et a, ^? 



M. Bourlet répond affirmativement à cette question, et voici 

 quelles sont les expressions cherchées des coefficients A^, B^ : 







-r- Z( P K+T' ^P + ^Q+P ?^P + ^P ap + 9 + ^P ?>P+q) 

 1 



g 

 1 



oo 



-\--{^V[bq+P ^^p-^h-^p(^p — h^-p+q-\-?^pap + q) 

 



On obtient immédiatement ces expressions en multipliant terme 

 à terme les deux séries effectuées et cherchant quels seraient dans 

 le produit ainsi effectué les coefficients de cos q^ et sin ç0 après 

 avoir remplacé les produits de sinus et cosinus par des sommes 

 ou des différences. Mais le point délicat est de démontrer la légiti- 

 mité d'un pareil procédé. M. Bourlet fonde cette démonstration 

 sur le lemme suivant : 



Étant donnée une fonction de deux variables f{x,y) finie et 

 déterminée à l'intérieur et sur le contour d'un champ rectangu- 

 laire de côtés a — a^, b — b^, et de plus intégrable par rapport 

 à X pour toutes les valeurs de y comprises dans l'intervalle {bob); 

 l'intégrale . . 



ao 



a pour limite 



/ f{x,yo -\-o) dx, 



JaO 



si l'on suppose : 



i*' Que f[X, y^ -|- s) a une limite f{x, y^ -)- o); 



2° Qu'on peut faire correspondre à tout nombre yî positif un 

 autre nombre s, tel que l'on ait 



I f{^^ ?/û + s) — /(^', Vo + o) I < y;, 



