580 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



où D représente le déterminant 



a Cy b^ 

 c, b a, 

 b, a, c 



1 "1 



et S la surface du triangle sphérique dont les côtés sont 



a. b. c. 



arccos-T=., arc cos -^, arccos-^. 



s/bc \/ca \^ab 



Sur une méthode générale de la géométrie qui forme le lien entre 



LA géométrie SYxNTHÉTIQUE ET LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, par 



M. Caspary. [Bull, des sciences mathématiques, i^ série, t. Xlll, 

 i''^ partie, 1889, p. 202-240.) 



M. Caspary développe une méthode générale qui relie la géomé- 

 trie synthétique et la géométrie analytique. 



Les principes sur lesquels est fondée cette méthode sont dus à 

 Cauchy et à Grassmann. 



Le mémoire de M. Caspary est divisé en trois parties. 



Dans la première il propose, pour l'espace ordinaire, la notion 

 de produit extérieur, notion qui établit le lien entre les deux 

 géométries, analytique et synthétique. 



Dans la deuxième partie^ au moyen de quelques formules 

 déduites des principes de cette théorie, il démontre divers 

 théorèmes relatifs»à la génération des surfaces, des complexes, 

 des courbes gauches et des congruences de droites. Après avoir fait 

 voir par quelques exemples que l'on peut transformer rapidement 

 en des formules de géométrie analytique des produits extérieurs 

 très compliqués, il expose une méthode nouvelle pour exprimer 

 à l'aide de paramètres les coordonnées d'une courbe gauche 

 représentée par un produit extérieur. 



Dans la troisième partie on trouvera la généralisation des 

 notions et des résultats indiqués dans les deux premières. C'est 

 là que la notion générale de produit extérieur et celle de com- 

 plément sont expliquées au point de vue algébrique. L'auteur 

 montre que l'on peut en déduire une théorie simplifiée des déter- 

 minants et que les idées qu'il a exposées trouvent une interpréta- 

 tion dans la géométrie à n dimensions. En terminant, il consacre 



