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Égalités a deux degrés, par M. Frolov. {Bull, de la Soc. mathé- 

 matique de France, t. XVII, 1889, p. 69-83.) 



L'auteur dit que deux groupes de termes <2j, «2, ...an;b^, b^, ...J)n 

 forment une égalité à deux degrés lorsqu'on a simultanément 



«1' + «2' 4- ..• + «.' = V + V + •.. + hn' 



et il désigne une telle égalité par la notation abrégée 



flj «2 ... «n J_ ^1 ^2 ••• ^n- 



Les égalités à deux degrés jouissent des propriétés suivantes : 



On peut augmenter ou diminuer d'une même quantité tous les 

 termes d'une égalité; les retrancher d'une même quantité; les 

 multiplier ou diviser par une même quantité ; additionner plusieurs 

 égalités. 



Parmi les égalités à deux degrés il faut distinguer les égalités 

 semblables, c'est-à-dire celles où les différences des termes corres- 

 pondants (supposés en lîiéme nombre) sont proportionnelles les 

 unes aux autres. 



On peut additionner les termes correspondants des égalités 

 semblables ; multiplier entre eux les termes correspondants de 

 deux égalités semblables; ajouter aux termes de deux groupes 

 d'une telle égalité une suite de quantités déterminées. 



Ces théorèmes fournissent divers moyens pour former des éga- 

 lités à deux degrés. 



L'auteur se propose ensuite de répartir en deux groupes égaux 

 tous les nombres consécutifs d'une progression arithmétique sans 

 omettre ni répéter aucun de ces nombres. 



Partant de l'égalité à deux degrés 



1,4 6, 7 J_ 2, 3, 5, 8, 

 il obtient en augmentant tous les termes de 8, 

 9, 12, i4, i5 _J_ 10, 11, i3, 16. 



En additionnant ces égalités de deux manières, on en obtient 

 deux autres représentant la répartition des 16 premiers nombres 

 en deux groupes égaux. 



Augmentant encore de 8 les termes de l'égalité primordiale, et 

 répétant le même procédé, on arrive à répartir les 8w premiers 

 nombres de 2»'— * manières différentes. 



