ANALYSÉS ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 723 



si elle est convergente, représente une fonction doublèraeilt pé- 

 riodique aux périodes 27ui et to. 



L'extension se présente d'elle-même quand on passe au cas de 

 deux variables. Soit /(e^, ev) une fonction rationnelle de e^ et ev; 

 on forme la série double 



TOrr-j-oo n:=z-\-ro 



si elle est convergente, on aura une fonction quadruplement pé- 

 riodique de X Qi y. 



Ces séries^ dont on n'avait jusqu'à présent, donné aucun exemple 

 effectif ne sont qu'un cas particulier des fonctions hyper abéliennes 

 de M. Picard. 



M. Picard est conduit, par le développement de la théorie de 

 ces fonctions, à envisager la série double 



^ Y, a^ b'^ a'^ h'-^ 



mz^ — <=^ nz=: — oq 



[ua^^ h"" -\- 1 )' [va'^ b'^ -f- i)^ 



«, 6, a', b' étant des quantités positives quelconques. 



11 montre qu'elle est convergente pour toute valeur de t?, u à 

 l'exception des valeurs réelles et négatives. 



Cette série permet d'en former une infinité d'autres jouissant 

 des mêmes propriétés. Il suffît de prendre deux fonctions ration- 

 nelles R(w) et Ri(u) dont tous les pôles soient situés sur la par- 

 tie négative de l'axe des quantités réelles et qui restent finies res- 

 pectivement pour w = o, t< zr oo et pour u — o, v zz: oo, et de 

 construire le développement 



FK.)= y y K{ambnu)Ua'mb'n^) ^^"^" va;rnb^n_^ 



^ ^ ' ^ ' {i-{-uaH^)''U-\-va'^b'r^Y 



Si maintenant l'on fait 



R=:R, = 1, v — ey, a — e», bz=:e^, a' zze^', b' — e^' 

 la série précédente devient 



W2=r 4-°° 

 © (iP,v) = > . i. 



