724 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Cette expression admet quatre couples de périodes dont le ta- 

 bleau est 



X 



y 



iizi 











27ui 



a 



a' 



P 



P' 



Mais elle ne représente pas une fonction quadruplement pério- 

 dique se comportant pour toute valeur finie de a; et ?/ comme une 

 fonction rationnelle. Elle n'est pas définie pour les valeurs de 

 X et y dans lesquelles le coefficient de la partie imaginaire est 

 égal à un multiple impair de tu. Ces surfaces de singularités essen- 

 tielles empêchent le prolongement analytique de l'expression 



?K y)' 



Il s'agit maintenant de développer la fonction ©(a?, y) en série 

 trigonométrique. M. Picard traite d'abord le cas d'une fonction 

 d'une seule variable aux périodes w (réelle) et i-izi 



m=:— 00 



On peut la mettre sous la forme 



F(a^)z=:2,A,cos-^. 



Par une analyse très élégante, où il est amené à calculer l'inté- 

 grale définie 



-j cos ax dx, 



f. 



0(1 + e^)' 



2 si 

 des coefficients Ap 



qu'il trouve égale à — : ., l'auteur obtient l'expression suivante 



2sin'juaz 



_ 4^a 



Ari 



0) (e^a — e— TîaJ 



Les fonctions quadruplement périodiques o{x, y) peuvent aussi 

 (après une substitution linéaire effectuée sur les variables) être 

 converties en séries trigonométriques 



y y knn cos J— cos -^ -f Bo,^ sin -^-— sin -^-^ . 



