7|6 REVUE PES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



qn\ |>ermet de prolonger analytiquement la fonction ^ dans tout 

 le plan des x. 



Il se propose maintenant de définir et d'étudier la fonction 

 ^(s, x) d'une manière générale^ c'est-à-dire pour des valeurs quel- 

 conques des variables s et x. 



Or, la relation 



,,, , 1 r-^^'-^dz 



s {S,X) — — — / -3 , 



r{s)Jo e- — x 

 déduite de l'identité connue 



n' r(s)jo 



-?i:r--.s — 1 



dz. 



définit la fonction ^ pour toutes les valeurs de x ; mais l'intégrale 

 n'a de sens que si la partie réelle de s est positive. On lèvera cette 

 restriction en définissant ^ par la formule 



e-''^', , rxz^-^ dz 



^ 11- ^ J i e- — X 



l'indice / désignant un lacet d partant du point -|- oo et contour- 

 nant le point zéro dans le sens direct. 



On peut de cette expression déduire une équation semblable 

 à l'équation (i) et plus générale, d'ailleurs signalée déjà par 

 M. Lerch, 



i\ (2^:) 



CM + .-C .,i =L^e^ S 



SITZ 

 S 





Mais la série qui figure au second membre n'est convergente 

 que si la partie de s est négative. Il faut encore lever cette restric- 

 tion. L'auteur y parvient en généralisant la fonction y^ de Ber- 

 laouUi au moyen de la formule 



où L désigne un lacet qui part du point — oo et entoure l'origine 

 dans le sens direct. La relation qui précède peut alors être rem- 

 placée par la formule tout à fait générale 



l {s,x) + e'-™ Ç (s,l) ^-e'f (2^)s .^ L '°§- 



\ X] \ IllZ 



M. Jonquière fait une étude spéciale des fonctions y.{s,x). Parmi 



