ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 1093 



tion proposée et un système d'équations différentielles linéaires 

 qui reste toujours associé à l'équation dans toutes les transfor- 

 mations que lui font subir les substitutions précédentes. 



La connaissance de ces invariants conduit tout naturellement 

 à la solution de ce problème, du moins dans les cas ordinaires : 



Étant, données deux équations du type (i), reconnaître si elles 

 peuvent être réduites l'une à l'autre par l'une des transformations 

 (2) et effectuer cette réduction quand elle est possible. 



Il existe toutefois des équations pour lesquelles la construction 

 successive des invariantes ne peut être faite d'après la méthode 

 générale. Ces équations exceptionnelles présentent d'ailleurs une 

 simplicité particulière. 



Parmi les applications de cette théorie à l'intégration elle-même, 

 la plus étendue est relative aux équations dont l'ordre peut être 

 abaissé parce que leurs coefficients cessent, après certaines trans- 

 formations, de contenir l'une des variables. 



M. R. Liouville indique les caractères auxquelles ces équations 

 sont reconnaissables et les calculs qui permettent de les ramener 

 à celle-ci : 



dans laquelle a^, a^, «3, a^ sont des fonctions quelconques de x. 



L'auteur signale en second lieu un second type très simple d'é- 

 quations qui peuvent se grouper par couples; celles d'un même 

 couple s'intègrent à la fois ; quelques-unes sont rendues linéaires 

 par une transformation convenable. 



On est encore conduit à des équations linéaires quand on cherche 

 les conditions pour qu'une équation du type (1) représente les 

 lignes géodésiques d'une surface. 



Quand une pareille équation représente les géodésiques d'une 

 surface, dont l'élément linéaire est donné par la formule 



di- = [f{u) -f F [v)] [du' + dv'), 



sans que l'on connaisse d'ailleurs f{ii) ni F{v), la réduction de l'é- 

 lément linéaire à la forme précédente dépend d'une équation dif- 

 férentielle linéaire et du second ordre ^ dont l'intégration fournit 

 aussi l'intégrale complète de l'équation proposée. 



