ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 1095 



Mais l'auteur croit devoir au préalable reprendre après M. Webor 

 d'une autre manière que ce géomètre le cas où la température 

 est donnée par une fonction du temps et d'une seule autre variable 

 indépendante s^. Il conclut d'assez longs calculs que les familles 

 de surface s^ = const. ne peuvent être que des sphères concen- 

 triques, des cylindres de révolution ayant le même axe, ou enfin 

 des plans parallèles entre eux. 



Après cette digression, M. Zaremba revient au problème pro- 

 posé par TAcadémie. Le point de départ de ses recherches devant 

 être l'équation du mouvement de la chaleur transformée par l'in- 

 troduction des variables 5p s^, Sg, au lieu des coordonnées rectan- 

 gulaires, il commence, d'après Riemann, par l'étude indispensable 

 des coefficients de la transformation. Il ne s'astreint d'ailleurs pas 

 au programme tracé par l'Académie, et, par une généralisation 

 d'ailleurs facile, il embrasse dans son analyse le cas des milieux 

 hétérogènes. 



Ici se présente la division indiquée ci-dessus et correspondant 

 aux diverses valeurs que peut prendre l'entier m. 



Le cas m = i a été traité par M. Weber, dont M. Zaremba ne 

 fait que reproduire les déductions en en développant les détails. 

 Ce cas ne peut se présenter que lorsque les isothermes sont des 

 droites parallèles entre elles, ou encore des hélices tracées sur des 

 cylindres de révolution du même cercle, ces hélices pouvant d'ail- 

 leurs dégénérer en cercles. 



Le cas m =z 2 n'a été que très incomplètement traité par Rie- 

 mann, dont la solution est même illusoire, puisqu'elle convient à 

 l'état de l'équilibre calorifique où les isothermes sont indéterminés. 



Sans être parvenu à trouver toutes les solutions correspondant 

 à m 1=1 2, M. Zaremba en fait cependant connaître plusieurs exem- 

 ples assez généraux. Tels sont les types représentés par les for- 

 mules 



où les exposants py sont des constantes, et o^^, des fonctions des 

 coordonnées rectangulaires x^, x^, x^, qu'il est toujours possible 

 de déterminer, et 



U = Cp, [s,, t) ^, [s,, S^) + s, (1^2 [S^, t) + ©3 («2, t). 



L'étude du cas m =z 3 présente moins de difficultés. Toutes les 

 formes possibles de la fonction u ont pu être déterminées complè- 



