AINALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 1097 



Pour cela, il faut et il suffît que le rapport des périodes soit ra- 

 cine d'une équation du second degré à coefficients entiers, sans 

 diviseur commun 

 (i) atû'^ -\- 2b(ùiù' -^ cb)' 1= 0. 



Le premier membre est une forme primitive, définie puisque le 

 rapport des périodes est essentiellement imaginaire. 



Il s'agit de trouver la valeur de pv en fonction de pu. Or, les 

 valeurs de u qui rendent v égal à une période sont représentées 



par tous les multiples d'une seule et même quantité— qui est la 



N° partie d'une période. 



Cette proposition fait connaître les pôles de pv considéré comme 

 fonction de u. M. Halphen en déduit immédiatement la formule de 

 décomposition qui donne pv 



W pv=pu+ 2j l^' v'~irj ~^~rrj* 



Le degi'é N et le multiplicateur z sont susceptibles d'expressions 

 très simples. Si l'on désigne par /: et k' deux entiers, et si l'on 

 pose 



D — ac—b'- 



Ces expressions sont 



z — k'-\-ik\/^. 



On adoptera naturellement comme la plus simple la multiplica- 

 tion où N est minimum. 



Alors, dans l'ordre proprement primitif (c'est-à-dire l'un des 

 deux nombres a et c étant impair), le multiplicateur le plus simple 

 £ et le degré N sont 



e=:i\/D, NrzD; 



dans l'ordre improprement primitif (c'est-à-dire si a et c sont pairs 

 tous deux), le multiplicateur le plus simple e et le degré N sont 



e=z:-(i+^-/D), N=-^(D-fi). 

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Pour la recherche effective des fonctions à multiplication com- 

 plexe, on n'a guère employé jusqu'à présent que des moyens dé- 

 tournés : tantôt on utilise les équations modulaires déjà connues, 



