1098 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



tantôt on calcule à l'aide des séries de Jacobi les coefficients d'une 

 équation résolvante. Ce dernier moyen exige des opérations ex- 

 trêmement laborieuses. Le premier conduit généralement à des 

 équations qu'il faut décomposer en plusieurs autres. M. Halphen 

 indique un moyen direct et simple qui ne met en jeu que les pre- 

 miers éléments de la théorie des fonctions elliptiques. 



Les fonctions elliptiques à multiplication complexe ont été ca- 

 ractérisées par la condition (i). Mais le problème véritable est de 

 trouver leurs modules ou, suivant le langage actuel, leurs inva- 

 riants. Pour résoudre ce problème, M. Halphen fait disparaître u 

 et V de l'égalité (2), de façon à obtenir une relation entre des con- 

 stantes exprimables en fonction des invariants. On peut obtenir 

 une infinité de telles relations. Si l'on développe les deux mem- 

 bres de l'égalité (2) suivant les puissances ascendantes de u et 

 qu'on égale terme à terme les coefficients, on a les relations dont 

 il s'agit 



-(..-o^.=-2p"ir' 



Il suffit, bien entendu^ d'employer la première de ces équations. 

 En exprimant que les arguments des diverses fonctions p", dans 

 le second membre, sont les multiples d'un même argument, que 

 ce dernier est la N^ partie d'une période, on obtiendra entre les 

 invariants une équation algébrique propre à résoudre le pro- 

 blème. 



Il y a d'ailleurs d'autres moyens d'obtenir cette équation. 



Avant de sortir des généralités, M. Halphen fait ressortir la re- 

 marquable liaison qui existe entre la théorie des formes arithmé- 

 tiques de Gauss et celle des fonctions elliptiques singulières (à 

 multiplication complexe). 



Pour un déterminant donné D zn ac — é% il y a une infinité de 

 formes {a, b, c). Il n'y a cependant qu'un nombre limité de fonc- 

 tions singulières répondant à ces formes. Une infinité de formes 

 répondent donc à une même fonction. Ceci tient à ce que les pé- 

 riodes 20), 2 w' ne sont pas entièrement déterminées. On peut en effet 

 au moyen d'une substitution linéaire, à coefficients entiers, de 

 déterminant un, changer ces périodes en d'autres équivalentes. 



Dans la théorie de Gauss, toutes les formes {a,b, c) déduites 



