ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES i099 



d'une seule et même forme par de telles substitutions, forment 

 une classe et elles sont équivalentes. Toutes ces formes corres- 

 pondent à une seule et même fonction elliptique. 



L'exemple choisi par M. Halphen comme application de la 

 méthode qui précède, est celui de la multiplication par y — 23. Il 

 existe six fonctions admettant cette multiplication. Pour le nombre 

 23, comme pour tous ceux qui sont de la forme 8n — i, le P. Jou- 

 bert a donné explicitement deux équations du troisième degré, 

 dont chaque racine est égale, pour l'une des six fonctions, au pro- 

 duit du module par son complémentaire. Ce produit suffit pour 

 définir les invariants, mais non pour faire connaître, sans nou- 

 velle irrationnelle, la formule même de la multiplication. M. Hal- 

 phen apporte donc un complément important aux résultats déjà 

 acquis. 



Sur le développement de l'expression 

 JR^ — 2R?' [cos w cos u' cos {x — x')-|-sinMsin w'cos (?/ — ?/')]-{-?'" j~', 



par M. Stieltjes. [Journal de mathématiques 'pures et appliquées^ 

 4*^ série, t. V, 1889, p. 55-65.) 



Dans la théorie du potentiel à quatre variables, se présente 

 immédiatement l'expression 



1 



T 



(•^i-<r+(-^2-^'2r+(^3-^'3r+(^'.-^'.r 



Pour développer cette expression en série, Green, Jacobi et 

 d'autres géomètres ont substitué aux variables x^, x.,, x^^ .t^, des 

 variables analogues aux coordonnées polaires. Cette transforma- 

 tion conduit moins rapidement au but que le changement de 

 variables imaginé par M. Stieltjes (qui d'ailleurs s'inspire de re- 

 cherches antérieures dues à M. Tisserand) : 



x^ zzL r cos u cos x, 

 a?2 = r cos u sin x, 

 x^ zzi r sin u cos y, 

 a-4=z?'sin u sin y. 



Alors l'expression à développer devient 



1 



T=z 



K* — 2Rr [cosw cos w' cos {x — x')-\-sin. u sin u' cos (y — ^')J + ^'' 



