1100 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



et si l'on développe T suivant les puissances croissantes de 



00 



'^-S^"Rïrp2' 



on est ramené à déterminer les fonctions V par l'équation aux 

 dérivées partielles 



-^-T + 2 COtg 1U — r— : -f -^—. T-T 4- n (n + 2) Vn = 0. 



àu- ^ ^ àw^ ' cos^wôo?^ sm^w ô/ ' ^ ' ^ 



On reconnaît sans peine que le développement de Vn doit être 

 de la forme 



V« = y^ /j 4 tî" j^ cos i [x — x') cos k [y — y'); 



i k 



R" ne dépend que de w et w'; il a pour expression 



R^.*^ = C'^ ^^(cosi^cos m')' {sinwsinw')^^(a,(5,Y, sin^) gî(a,|3,Y,sin2M'), 



^i P) ï ayant les valeurs suivantes 



i-]- k — n 



a ~ , 



2 

 1 



et S' représentant la série hypergéométrique qui se réduit ici à un 

 polynôme, puisque a est un entier négatif. 



Enfin le coefficient C'! est donné par la formule 



n (ri=i±^) n (^^±i±-') 



q" — 



n ( — ^ — n (— ^-^ — j n [k) n (/:) 



Cette analyse est tout à fait analogue à celle que Laplace applique 

 à la fonction 



Xn (cos ô cos G' + sin sin o' cosç). 



