ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 



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Sur le développement des fonctions implicites, par M. Gomes 

 Teixeira. [Jowmal de mathématiques fures et appliquées^ 4® série, 

 t. V, 1889, p. 67-71.) 



L'auteur a indiqué précédemment {Journal de mathématiques, 

 1881), une formule pour développer en série, suivant les* puis- 

 sances croissantes de x, une fonction u définie par les équations 



( u — f{z) 



\ zz=it-\- x(^^[z) -\- .^'©2(2) + •• • + x^9k{z), 

 à savoir 



(i) u=f{t)^xr{t)^,{t)+,.. 



+ ^"E 



,{b-i) 



lrw[?.wrfcwf ...[?^(o]' 



où la somme S se rapporte à toutes les solutions entières et posi- 

 tives de l'équation 



et où 



6zza + p. + Y-f ...+X. 



Il revient actuellement sur ce sujet pour déterminer quelle 

 valeur de u doit être représentée par la série précédente et pour 

 étudier les conditions de convergence de cette série. Cette étude 

 le conduit au théorème que voici : 



Soient f{z), o^ (z), ©3 (2),.-. ?/t(2) des fonctions holomorphes à l'in- 

 térieur d'un contour K ; t un point intérieur; a une quantité posi- 

 tive assez petite pour que la condition 



«?1 (2) 



z-t 



4- 



z — t 



+ ...+ 



oc^<?k{z) 



z — t 



<1 



soit réalisée le long du contour K. A chaque valeur de x qui satis- 

 fait à la condition x<C(x, correspond une valeur unique z^ de 3 à 

 l'intérieur de K; et /(s,) est développable en série ordonnée sui- 

 vant les puissances croissantes de x, au moyen de la formule (1). 



Extrait d'une lettre a M. Hermite, par M. Caspary. [Journal de 

 mathématiques pures et appliquées^ /{.^ série, t. V, 1889, p. 73- 

 79-) 



L'auteur fait ressortir le lien qui existe entre les recherches de 

 Revue des trav. scient. — T. X, u° 11. ^3 



