ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES H03 



puis un système de surfaces algébriques dûpt l'équation dépend 

 algébriquement d'un paramètre u 



$ (X,Y,Z,w) = ou © (,T,?/,2,^,w)=:o, 



§t l'on se propose d'évaluer la somme des intégrales I çJqTit lç§ li- 

 mites inférieures sont respectivement les arguments des pQin(;s 

 communs à la courbe C et à une surface 



et les limites supérieures les ^irgunieqts clês points CQRiiïJuns! à C 

 et à la surface 



o[x,y,z,t,u) — o. 



Pour atteindre ce but, M. Humbert considère la fonction 



r.f^s Q^'n i\dx dt\ 



B(îk) est une fonction thétafuschieune du genre un, dont les 

 résidus ont une somme nulle à l'intérieur du polygone fonda- 

 mental. 



C'est en évaluant ces résidus que l'auteur obtient la formule 

 cherchée 



Sl= / "(:Sr)(^w, 



Juù 



Sr désignant la somme des résidus de 0(a) par rapport aux zéros 

 de ^x,ij,zj). 



Des cas particuliers, les plus intéressants sont ceux où SI est 

 nulle. Il en est ainsi lorsque, les surfaces = formant un fais- 

 ceau ponctuel ©0 + ^?i = 0, une de ces surfaces passe par tous les 

 points de la courbe C, qui rendent infinie l'intégrale abélienne. 



Si les surfaces 9 = forment un système algébrique quelconque, 

 on arrive à uu résultat analogue. La somme Sï est égale à zéro, 

 lorsque les surfaces de ce système qui passent respectivement par 

 les points de la courbe C, rendant l'intégrale infinie, se réduisent 

 à une seule. 



M^is l'auteur, ayant en vue des applications géométriques, 

 insiste prj^cipalement sur le cas où l'intégrale abélienne consi- 

 dérée est de seconde espèce, et spécialement sur celui où elle est 

 la dérivée 4'une fonction rationuelle, Le produit et la somme des 

 valeurs qiae prepd une fonction rationuelle homogène et de degré 



zéro, - aux points commun à la courbe C et à chacune des sur- 



