1104 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



faces du système algébrique 9 [x,y,z,t,u) = 0, donne lieu à des 

 remarques curieuses. 



Voici maintenant comment M. Humbert entend et réalise l'exten- 

 sion du théorème d'Abel aux intégrales multiples : 



Soient /"(XjYjZ) = l'équation d'une surface algébrique de degré 

 m et 



Q (X,Y,Z) ^X dY ■ 



m 



(X,Y,Z) A 



une intégrale double attachée à cette surface. 

 Soient en outre deux surfaces algébriques 



?(X,Y,Z,w) = o, <i;(X,Y,Z,i;) = o 



dont les équations de degré n et p en X,Y,Z renferment respecti- 

 vement deux paramètres u et v. 



Deux surfaces voisines du premier système et deux surfaces 

 voisines du second découpent sur la surface fixe f{X,Y,Z) = 

 des quadrilatères curvilignes infiniment petits dont le nombre est 

 égal à celui des points de rencontre des surfaces /* =: 0, ç zn 0, 

 (Lizio, c^est-à-dire kmnp. 



Si l'on fait varier la deuxième surface du système u, en laissant 

 la première fixe, et si l'on fait de même varier la deuxième sur- 

 face du système n, les quadrilatères prendront des dimensions 

 finies; le problème que l'auteur se propose est d'évaluer la somme 

 K des valeurs de l'intégrale J, prise dans tous les quadrilatères 

 ainsi déterminés, et il trouve pour K l'expression 



P 

 dudv V 



/ 



àu dv 



"sÂT"' 



^ désignant le déterminant fonctionnel des trois fonctions f, <p, '1^, 

 et la somme S s'étendant aux points communs aux trois surfaces. 



Cette somme, étant une fonction symétrique des coordonnées 

 des points communs aux surfaces /"— 0, 9 iz: 0, d^ n: 0, se trouve 

 être une fonction rationnelle de u et v. L'intégrale double K ne 

 peut donc en général se ramener aux fonctions rationnelles et 

 logarithmiques, comme dans le cas d'une seule variable. 



Elle le peut cependant dans des cas particuliers, par exemple 

 lorsque les systèmes^de surface 9= et ^ = se réduisent à des 

 faisceaux ponctuels cp^ -{- u<f^ =0 et û)^-{-v^^=:o et que la surface 

 (P2 = du premier faisceau passe par tous les points de la surface 



