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genre dé la courbe mobile d'intërsôctioti dé la surface donnée 

 avec les surfaces représentées par l'équation Q i= d. 



« Dans la théorie des courbes algébriques, on ne s'est pas borné 

 au point de vue algébrique, et la considération de certaines 

 expressions transcendantes attachées à la courbe présente le 

 plus grand intérêt. Ces transcendantes sont, comme on sait, les 

 intégrales de la forme 



/' 



R [Xyy) dx, 



R étant une fonction rationnelle des coordonnées x et y, liées par 

 la relation qui définit la courbe f {x,y) :=o. 



• (( Une première extension du point de vue transcendant a été 

 faite par M. Nœther, quia, dans un de ses mémoires (il/a^/i. Anna- 

 ten, t. iî), considéré les intégrales doubles 



// 



' :/ ' dxdy, 



Q étant toujours un polynôme adjoint d'ordre m — 4- La considé- 

 ration de ces intégrales va jouer un rôle capital dans différentes 

 parties de ce mémoire. On pourrait les appeler des intégrales dou- 

 bles de première espèce attachées à la surface. On peut en effet 

 montrer que ces intégrales restent toujours finies, quel que soit 

 le champ de l'intégration. 



L'extension du point de vue transcendant aux surfaces algé- 

 briques peut &e faire d'une autre manière, en considérant les 

 intégrales de différentielles totales, de la forme 



/ 



(Prfa;4 Qdy), 



P et Q étatit des fonctions i'ationnelles de x^ ?/, z liées par la rela- 

 tion qui définit la surface /(a?, y, z) = o. 



« C'est de Tétude de ces intégrales que nous nous sommes tout 

 d'dbord ofccupé. Nous les partageons en intégrales de première^ 

 seconde et troisième espèce, comme dans la théorie des courbes 

 algébriques. Nous avions déjà commencé cette étude dans deux 

 mémoires du /owrM/ cfe mathématiques {i8S5 et 1886). Nous l'epre-^ 

 nous entièrement ici la théorie des intégrales de secoiide espèce, 

 dbht plusieurs points avaient besoin d'être précisés. Nous établis- 

 sohs d'abord que de telles intégrales n'existent pas engénérul pour 

 uUe surface algébrique^ je veux dire qu'il n^ a pas^ pour une 



