ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 1107 



surface arbitraire, d'autres intégrales de seconde espèce que des 

 fonctions rationnelles des coordonnées. Laissant celles-ci de côté, 

 il faut reconnaître si une surface donnée admet des intégrales de 

 seconde espèce et apprendre à les former si elles existent. C'est à 

 ce problème qu'est consacrée la plus grande partie du premier 

 cliapitre de ce mémoire. Nous ramenons sa solution à une question 

 d'une tout autre nature, à l'étude des intégrales rationnelles d'une 

 équation différentielle linéaire. x\vant d'approfondir davantage la 

 théorie des intégrales de seconde et de troisième espèce, nous 

 avons dû étudier une question capitale en elle-même, c'est celle 

 des cycles des surfaces algébriques] elle fait l'objet du second 

 chapitre. 



« Dii contiaît toute Tiniportance de la théorie des cycles dans 

 l'étude des courbes algébriques. La pensée d'édifier une théorie ana- 

 logue pour les surfaces algébriques se présentait naturellement; 

 c'est ce que j'ai essayé de faire. Mais tout d'abord il convient de 

 remarquer que la généralisation peut se faire dans deux directions 

 différentes; il y a à considérer pour les surfaces des cycles à une 

 dimension ou linéaires et des cycles à deux dimensions] d'où deux 

 théories entièrement distinctes. 



a En pénétrant dans la première étude^ on rencontre dès le 

 début un résultat au premier abord inattendu : c'est qu'en gé- 

 néral, pour une surface algébrique, il n'y a pas de cycles linéaires, 

 je veux dire qu'ils se réduisent tous à des cycles nuls. Il y a cepen- 

 dant des surfaces possédant effectivement des cycles linéaires, et 

 le problème se pose de rechercher les cycles distincts d'une sur- 

 face algébrique. Dans cette difficile question, Id^ réductibilité d'une 

 certaine équation différentielle linéaire joue un rôle essentiel... 



« Relativement aux cycles à deux dimensions, nous avons cherché 

 à montrer à quel problème, relatif aux équations linéaires, pou- 

 vait être ramenée leur étude. Ces cycles existent d'ailleurs en 

 général; c'est donc là qu'on trouvera la véritable généralisation 

 de la théorie des cycles des courbes algébriques que n'ont pu 

 donner^ comme on vient de le voir, les cycles linéaires. 



« On voit par ce qui précède les différences profondes qui sépa- 

 rent la théorie des fonctions algébriques dune variable de la 

 théorie des fonctions algébriques de déut Variàlbiës iridépendâhtes. 

 L'analogie, qui souvent est uti guidé èxcellerlt, peut ici devëhlt- 

 bien trompeuse. 



« Les méthodes employées dàhfe ce châpil;^ë îlouè ôflt {jeriiiiâ 

 dé coniplëter la théorie dès itltégràléfe de sécbnde fel de trfcjlslêrilë 



