1108 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



espèce. Je citerai seulement ici le théorème suivant : Le nombre 

 des intégrales distinctes de seconde espèce est égal au nombre de 

 leurs périodes. 



«Nous nous occupons dans le troisième chapitre des transfor- 

 mations birationnelles des surfaces en elles-mêmes. Ce chapitre 

 peut être considéré comme une application de nos résultats gé- 

 néraux sur les intégrales de différentielles totales. L'étude des 

 transformations d'une surface en elle-même est très différente 

 suivant le genre de la surface. Quand ce genre p est supérieur à 

 1, les transformations ne peuvent contenir plus d'un paramètre 

 arbitraire. Si le genre est au plus égal à i et que la surface 

 admette un groupe continu de transformations birationnelles en 

 en elle-même, ou bien on pourra tracer sur elle un réseau de 

 courbes du genre zéro ou un, ou bien la surface jouira de la pro- 

 priété remarquable que voici : il existera deux intégrales de 

 différentielles totales 



Vdx -f Qdy et V^dx + Q,dy 



telles que les deux équations 



Vdx -);-(}dy^du, F^dx -\- Qidyzzzdv 



donneront pour a?, y, zdes fonctions uniformes de u et v. Nous étu- 

 dions spécialement cette classe intéressante de surfaces, qui sont 

 vraiment les analogues des courbes planes de genre zéro et un. 



« Dans le quatrième chapitre, nous complétons la théorie pré- 

 cédente; nous faisons voir comment on pourra reconnaître si deux 

 surfaces de genre supérieur à i se correspondent point par point, 

 et nous établissons, notamment, par deux voies différentes, que 

 deux surfaces de genre supérieur à l'unité ne peuvent admettre 

 une infinité discontinue de transformations birationnelles. 



« Le cinquième chapitre a pour objet l'application de quelques- 

 uns des résultats précédents à l'étude de certaines équations dif- 

 férentielles. Nous nous occupons particulièrement des équations 

 de la forme 



f{y^y'>y") — ^^ 



f étant un polynôme, dans le cas où l'intégrale générale est 

 uniforme. C'est une théorie très difficile, et la raison de cette 

 difficulté est dans le fait suivant signalé au troisième chapitre : 

 une surface algébrique peut admettre une transformation biuni- 

 forme en elle-même qui ne soit pas birationnelle, tandis que^, pour 



