ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 1109 



les courbes algébriques au contraire^ une telle transformation est 

 nécessairement birationnelle. 



« Tout d'abord nous examinons le cas particulier où une certaine 

 transformation biuniforme de la surface / serait birationnelle. 

 Toute cette étude est intimement liée à celle des surfaces étudiées 

 au chapitre m; dans ce cas, l'intégrale générale s'exprimera par 

 des transcendantes connues. Nous avons voulu ensuite examiner 

 le cas général^ mais un point extrêmemeat délicat se présente. Il 

 est relativement facile de reconnaître si l'intégrale générale est 

 à apparence uniforme^ c'est-à-dire est uniforme dans le voisinage 

 de tout point à l'intérieur de la région où doit rester la variable 

 indépendante; mais nous ne sommes pas autorisé à regarder 

 pour cela l'intégrale générale comme une fonction uniforme. Nous 

 avons spécialement considéré le cas où l'équation a la forme 



R étant une fonction rationnelle en y et y' . Il nous a paru curieux 

 de montrer comment on pouvait mettre l'intégrale y sous la 

 forme d'un quotient de deux fonctions à apparence uniforme, 

 n'ayant plus de pôles, fonctions que l'on peut regarder comme 

 une généralisation des fonctions A/ ou des fonctions de la théorie 

 des fonctions elliptiques. 

 « Nous considérons aussi les équations plus générales 



où f est un polynôme en y, y', et y", dans l'hypothèse où les points 

 critiques de l'intégrale générale seraient fixes. C'est l'extension 

 au second ordre du problème posé par M. Fuchs pour les équa- 

 tions du premier ordre^ problème sur lequel M. Poincaré a écrit 

 quelques pages si remarquables. Ici encore une certaine transfor- 

 mation biuniforme joue un rôle essentiel; nous ne nous occupons 

 que du cas où cette transformation serait birationnelle. 



« Dans le sixième chapitre, nous généralisons la notion d'inté- 

 grale de première espèce en envisageant les fonctions u de {x,y,z) 

 qui se transforment en au-\- b {a et b étant des constantes), quand 

 {x,y,z) décrit un cycle linéaire effectif de la surface. Une pareille 

 généralisation peut aussi être faite par les courbes algébriques; 

 nous lui consacrons quelques pages au début du chapitre. » 



