lllO HËVIJE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Sur la détermination générale du volume engendré par un contour 



FERMÉ GAUCHE OU PLAN DANS UN MOUVEMENT QUELCONQUE, par M. Kœ- 



NiGS. {Journal de mathématiques pures et appliquées, 4® série, 

 t. V, p. 321-343). 



L'objet que s'est proposé M. Kœnigs est la généralisation la pltis 

 iàrge possible diithéorènië de Giildin, relatif aii volilnie des corjis 

 de i'éVolation. 



Que doit-on tout d'âboM eilteildre Jjai* tôliiiîié engendré par un 

 cdtitOlîi^ ferftië dans lin îticluvemëtit l^uelcôn^ùë? Car dans iin tel 

 môdvêiîîent lé contour fel-mé dbnhe naissàiice à une soi-te de sur- 

 face feanal ouverte aux deux bouts. Il faut imaginer une cloisori 

 têfldue iiil' ië éotltbur ; le tblunie en question sera celui qii'âurà 

 balaye cette clbison. Ce volume est visiblement irldéjïendartt de là 

 cloison choisie. 



En vue de la fixation des signes, il faut supposer que le con- 

 tour est doué d'un sens de parcours donné a priori. Alors la pro- 

 jection du contour sur un plan orienté t. a une aire parfaitement 

 définie en grandeur et en signe 



a, g, Y étant les cosinus directeurs de l'orientation et A,B,C les aires 

 prises avec leurs signes (qui dépendent du sens de parcours 

 adopté) des projections du contour sur les plans coordonnées. 



Si Ton considère un segment [a±e aréolaire) se projetant sur les 

 axes, suivant A, B, C, on voit que pour avoir l'aire du contour sur 

 un plan orienté, il suffira de projeter ce segment sur l'axe d'orieii- 

 tâtioii du plan avec un signe convenable; 



Il imj^orte maintenant de fixer le signe des volumes. Oil sup- 

 posera d'abord que le contour éprouve une translation rectiligne 

 perpeiidiculairè au iiîàn -ît:. Ctiàcjue éléinënt w d'une cloison teiidue 

 slir le contôiir dëcrità iin volume cylindriîjue, et l'on convient d'a- 

 dopter pour signe de ce tolume le signe même de l'aire de la pro- 

 jèctidii du ëbtitbtir to sUr le plail x. Oïlant àti vdltltilé total, c'est 

 la feoihme des vbllitilës balayés par les diflei^ëiits éléments w ; sôti 

 signe est donc parfaitement déterminé. 



Moyëtinâtit ces côtiven Lions, M. Rtenlgs peut doilnër Utie fër- 

 mîile ùniqiie et tdUt à fait gétiêrale poiir exprimer îë tbltimë 

 engendré par le contour fermé dans un mouvement quelconque. 



Il remarque d'abord que pour une même hélice directrice, les 

 volumes hélicoïdaux engendrés par un même contour, sont entre 



