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Sur les invariants de quelques équations différentielles^ par 

 M. Appell. (Journal de mathématiques pures et appliquées, 

 4e série, t. V, 1889, p. 36i-423.) 



La première partie de ce mémoire est consacrée h l'étude des 

 iîivariaiits §t 4§§ ç§^ çl'iatégrabilité des équations différentielles 



du premier ordre algébriques en -^ et ne contenant -— qu'au pre- 



mier degré. Une pareille équation peut être mise sous la forme 



^.V _ ^0 + ^1?/ + ^2!/' + • • • + f^ny" 

 dx ~ bç^-\- b^y + b^y' + • • • -^ bpyp' 



les coefficients «„, «,, a^,...,bo, b^,...,bp étant des fonctions de la 

 variable indépendante x. 



Cette équation, où l'on peut toujours supposer jo <n — i, pos- 

 sède l'importante propriété de conserver la même forme, w et p 

 restant les mêmes, quand on prend une nouvelle variable indépen- 

 dante ç et une nouvelle fonction inconnue •/] liées k x qï y par les 

 relations 



^=K^)» 'yi^.w{^)+'^{^)r 



•^.[x).,u{x\ v[x) étant des fonctions indélerminées de x. 



Un invariant relatif de cette équation sera vine fonction tius 

 coefficients a, h et de leurs dérivée,^ par y^ppQrt, P- Xy telle que la 

 rnême fonction formée avec les coefficients 4e l'équiition trans- 

 formée et leurs dérivées par rapport à 5, lui soit égale à un f^c^ 

 leur près, ce facteur dépendant uniquement des fonctions \}{x), 

 u{x) et v[x). Lorsque ce facteur se réduit à l'unité, l'invariant est 

 absolu-. 



Parmi les équations de la forme cQUsiiigrée, les plus sirnples 

 sont, pour w == 1, l'équation linéaire ; pour n ;=i 2, l'équation (le 

 Riccati, pour n = 3, l'équation 



dy _ a,^ a,y -f a,y^ -f a^y' 

 ^ ^ dx- b^^b.y 



qui, par le changement de b^ -\- b^y en - se ramène à la forme 



j 



^ = Co -f "ic.y -f 3c2?/^ + c^y' 

 déjà étudiée par M. Liouville. 



