ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES lilSi 



Il est possible, par des quadratures, de ramener l'équatipa (t) 

 à une forme canonique ne contenant plus qu'un invariant absolu. 

 En faisant le çjiangement de fonction 



Va 

 et (Jéteminant U(.a?) par la. relation * -, 



\}{x)—eJ '' dx, 

 on fera disparaître les termes en Y et Y% et on réduira l'équa- 



OÙ ^3 désigne la fonction 



Enfin si l'on fait le changement de variable indépendante 



l'équation prendra la forrne canonique 



ou 



dcr^ dç 



-- -^-^-^ ' "- ' ^■'Tx^^^'dx 



C,Cl—?>C,C^C,^ 'iCl -I-C3 ^^C2;y^ ' (c,n,-cl 



J ~ -4^ HZ , — _rL e-7 — ^ dx. 



Les fonctions U et Sg sont des invariants relatifs, J etX des inva- 

 riants absolus pour toutes les transformations de la forme 



yz=zr,u[x)-\-v(x), ^-^.[x). 



Les fonctions J' z= -— , J" = — -„ ... sont aussi des invî^^riants 

 ftX d\' 



absolus qui se calculent aisément par voie de récurrence en fonc- 

 tion des coefficients Cq, Cl, C2, 63. Si, en effet, on pose avec M. R. Liou- 

 ville 



dsin—i 



Sift-|-1 =— Cg " - —[in — 1 ) i'in— 1 



È + ^H^-^.-d)]. 



