ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. Ui 



et il montre qu'il est possible dans certains cas de donner du pro- 

 longement analytique au delà d'une ligne essentielle fermée une 

 définition qui ne soit contradictoire ni avec elle-même ni avec les 

 notions antérieurement acquises. Il fait voir comment les difficultés 

 signalées par M. Poincaré tiennent à la définition que l'on donne 

 ordinairement de l'uniformité des fonctions. 



Dans la seconde partie de son travail, M. Borel indique comment 

 la considération de certaines fonctions à espace lacunaire signalées 

 par M. Poincaré l'a conduit à un important théorème sur les fonc- 

 tions d'une variable réelle , qui dans un intervalle donné ont toutes 

 leurs dérivées finies et qui, cependant ne sont développables en 

 série de Taylor pour aucun point de l'intervalle. Il donne pour ces 

 fonctions une expression analytique (la somme d'une série de puis- 

 sances et d'une série de Fourier), telle que les expressions analy- 

 tiques des dérivées de tous les ordres de la fonction s'en déduisent 

 immédiatement par la différentiation des séries terme à terme. 



Pour obtenir ce résultat, l'auteur a dû compléter sur quelques 

 points la théorie d'un système d'une infinité d'équations linéaires 

 à une infinité d'inconnues. Il donne en terminant quelques appli- 

 cations de cette théorie. 



Dans la conclusion , il montre comment les deux parties en ap- 

 parence assez distinctes de ce travail découlent des mêmes idées, 

 et il cherche à faire voir quelle importance ces idées peuvent avoir 

 dans les applications, notamment en physique mathématique. 



M. Borel a rejeté dans une note la démonstration de quelques 

 propositions qui se rattachent à la théorie des ensembles et à l'ap- 

 proximation des irrationnelles. 



Sur les surfaces 1 génératrices rationnelles, par M. Lelieuvre. 

 (Aim. de V École normale, 3^ série, t. XII, 1896, p. 67-1/13.) 



Soit une famille de lignes unicursales G dépendant d'un para- 

 mètre w, les coordonnées d'un point de chaque ligne sont des fonc- 

 tions rationnelles d'un paramètre t. Les lignes G ou M = const. 

 seront dites divisées homographiquement par les lignes t = const. 

 tracées sur la surface S qu'elles engendrent quand u varie. 



M. Lelieuvre s'est proposé la détermination de certaines familles 



