hlxl REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



de lignes tracées sur la surface S et définies par une équation dif- 

 férentielle du premier ordre entre m et f, de la forme 



(0 A„(|)™+A.(|)-+...+A„. = o, 



OÙ les A sont des polynômes entiers en ï, à coefficients fonctions 

 de u. Il étudie les conjuguées des génératrices G, leurs trajectoires 

 orthogonales, ou encore les lignes minima, asymptotiques ou de 

 courbure de la surface S : l'équation (i) est alors du premier ou- 



du second degré par rapport à -r-. 



Le problème proposé se ramène à l'intégration de l'équation (i). 

 Il y a lieu, notamment, de considérer le cas où l'intégrale générale 

 n'a que des points critiques fixes. On doit alors rechercher les con- 

 ditions que doivent remplir les génératrices G pour que toutes les 

 racines de Aq appartiennent aux coefficients suivants. Si l'équation 



(i) est du premier degré en j--> ^'^^t une équation de Riccati facile 

 à intégrer quand on en connaît une solution particulière. Si l'équa- 

 tion (i) est du second degré en -y-, d'autres conditions sont néces- 

 saires; les points critiques sont fixes : i° quand le discriminant est 

 un carré parfait (l'équation se décompose en deux de Riccati); 

 2^* quand il a une racine double et les deux autres solutions sin- 

 gulières; S*' quand il a quatre racines, solutions singulières. 



On a signalé, depuis longtemps, des exemples dans lesquels la 

 détermination des familles de lignes énumérées ci-dessus se ramène 

 à l'intégration d'une équation de Riccati (seconde famille d'asymp- 

 totiques d'une famille réglée, trajectoires orthogonales d'un sys- 

 tème de cercles, conjuguées d'une série de coniques ayant deux 

 enveloppes, etc.). 



Dans la première partie de son mémoire, M. Lelieuvre indique 

 comment les plus connus de ces résultats pouvaient être prévus 

 presque sans calculs, et ilapphque ces considérations préliminaires 

 à l'étude des lignes de courbure des surfaces réglées et des surfaces 

 cerclées. 



Dans la seconde partie, en supposant que l'équation (i) définisse 

 une des familles de lignes énumérées ci-dessus, l'auteur expose une 

 méthode générale pour rechercher les conditions générales d'exis- 



