ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. A^3 



tence sur la surface S d'un lieu t=^(p(^u) tel que (p{u) soit racine 

 commune des coefïicients de Téquation (i), ou racine multiple 

 de son discriminant ou solution singulière. 11 applique celte mé- 

 thode à Téquation des conjuguées des génératrices G et à celle 

 des asymptotiques de la surface S qu'elles engendrent. 



La troisième partie est consacrée à l'application des résultats 

 précédents à la recherche des familles de lignes unicursales planes 

 et de cubiques gauches divisées homographiquement par leurs con- 

 juguées et à l'étude des lignes asymptotiques de la surface S cor- 

 respondante. Dans le cas où les lignes G sonl planes, la transfor- 

 mation de Laplace permet de rapporter immédiatement la surface 

 S aux lignes G et à leurs conjuguées, et son application répétée 

 donne des solutions du même problème, dans le cas où la géné- 

 ratrice G est gauche. 



Sur les spirales harmoniques, par M. L. Raffy. 

 {Ann. de r Ecole normale, 3^ série, t. XII, 1896, p. 1/16-196.) 



L'objet de ce mémoire est la détermination de tous les éléments li- 

 néaires harmoniques qui conviennent à des surfaces spirales. 



Au début du chapitre I, l'auteur indique les premières solutions 

 du problème fournies par le théorème de M. Maurice Lévy : Tout 

 élément linéaire homogène , de degré autre que — 2 , appartient à une in- 

 finité de spirales. Tel est le cas de l'élément linéaire suivant 



(m) ds^ = ( au""' — bv'"' ) ( du"^ ^dv"^), 



qui est visiblement harmonique. En faisant croître ou décroître m 

 indéfiniment, on en déduit ces deux autres : 



(e) ds^ = (e«« - e^') [du""- + dv"-) 



(/) ds"^ = (log au — log hv) ( du^ -f- ffo^) , 



qui conviennent également à des spirales. Ces solutions une fois 

 signalées, le problème est posé dans toute sa généralité. Il s'agit 

 de trouver toutes les fonctions T de x -{-y qui vérifient , conjointement 

 avec deux autres fonctions inconnues X (x) et Y [y) , la relation 



( 9X(^ + T^-2^•T-l)-2Y(T' + ^^ + 2^T- 1) 

 ^^ I +3X'(ï-f)-3r(T + i) + r-Y" = o, 



