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où les accents désignent des dérivées et i l'unité imaginaire. Il 

 faut en outre distinguer, parmi les éléments linéaires cherchés, 

 ceux qui sont doublement harmoniques et ceux qui ne le sont point. 



Avant de discuter l'équation (S), l'auteur montre que pour les spi- 

 rales simplement harmoniques les fonctions X et Y sont nécessairement de 

 la forme X = Ae^**^, Y = Be~ ^''^/^ A , B et r étant trois constantes dont 

 la dernière peut être nulle, puis il résout l'équation (S), d'abord en 

 réduisant X et Y à des constantes , ce qui donne l'élément linéaire 

 (e), ensuite en prenant pour X et Y les exponentielles, ce qui con- 

 duit aux deux éléments linéaires (m) et (/). Le chapitre se termine 

 par la recherche des éléments linéaires qui conviennent à la fois à 

 des spirales et à des surfaces de révolution; ils rentrent tous dans 

 le type [x-\-ijY dxdij. 



Au chapitre II, M. Raff'y traite complètement l'équation (S). Il 

 rencontre d'abord les spirales à courbure totale constante , qui sont 

 forcément des développables , puis les spirales applicables sur les 

 surfaces de révolution. Ces deux cas particuliers une fois écartés, 

 l'équation (S), convenablement différentiée, permet d'exprimer X' et 

 Y' en fonction linéaire de X et Y, et comme ses coefficients ne dé- 

 pendent que de T et de T', on a 



(t) X' = TiX+TJ, Y' = T3X + TJ, 



les lettres T^ désignant des fonctions rationnelles de T et de ses 

 quatre premières dérivées. Il suit de là que la fonction T doit sa- 

 tisfaire à deux équations différentielles du cinquième ordre, réduc- 

 tibles , il est vrai au quatrième , la variable indépendante n'y figu- 

 rant pas. Mais telle serait la complication de ces équations, que, 

 loin de pouvoir les discuter, on serait presque dans l'impossibilité 

 de les écrire explicitement. C'est pourquoi l'auteur procède d'une 

 tout autre façon. Laissant provisoirement de côté la recherche de 

 T, il considère les Ti comme quatre fonctions inconnues, sans re- 

 lations entre elles et démontre que le système (t) admet deux so- 

 lutions et deux seulement, qui sont déterminées, à des coefficients 

 arbitraires près. Les expressions de X, Y et des T,- qui forment ces 

 deux solutions, étant substituées dans l'équation (S), la décom- 

 posent en deux équations de Riccati, dont la discussion comporte 

 l'examen de cas assez nombreux. La conclusion finale est que le 

 type (m) , avec ses formes dégénérées (e) et (/), comprend tous les éléments 



