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Tout d'abord se présente la séparation des équations linéaires 

 en deux groupes, suivant que les caractéristiques sont ou ne sont 

 pas toutes réelles, une même équation pouvant appartenir aux 

 deux groupes dans des portions distinctes du plan des xy. 



Les intégrales analytiques des équations du second groupe (ex. 

 l'équation de Laplace AV = o) peuvent avoir des lignes singulières 

 absolument quelconques. 



L'objet principal du mémoire de M. Delassus est l'étude des 



d^ + '^z 



équations du second groupe (ex. i pi q = o). 



Les recherches de l'auteur l'ont conduit, pour ces équations, à 

 la notion caractéristique du domaine d'un arc. 



Soit o- un arc analytique régulier : on peut lui faire correspondre 

 un domaine p l'entourant complètement et jouissant de cette pro- 

 priété que, quelles que soient les fonctions analytiques initiales 

 sur tout l'arc <j, l'intégrale correspondante est analytique dans tout 

 le domaine p. Cette région p est le domaine de l'arc a. De là ré- 

 sulte ce théorème fondamental : Les lignes singulières essentielles des 

 intégrales analytiques des équations du premier groupe ne peuvent être 

 que certaines lignes fixes ou des caractéristiques. 



L'auteur montre qu'il existe des équations à un nombre quel- 

 conque de variables qui peuvent être considérées comme générali- 

 sant les équations à deux variables à caractéristiques réelles et aux- 

 quelles s'étendent les propriétés fondamentales qui viennent d'être 

 énoncées. 



Il étend ensuite à toute une classe d'équations d'ordre quelconque 

 et à caractéristiques réelies la méthode de Riemann exposée par 

 M. Darboux dans sa Théorie des surfaces (2® partie, ch. iv). En ap- 

 pliquant la méthode des approximations successives due à M. Pi- 

 card, M. Delassus parvient à retrouver tous les résultats obtenus 

 pour le second ordre et, en particulier, l'intégration simultanée de 

 l'équation et de son adjointe au moyen d'une seule fonction de 

 quatre variables. L. R. 



