ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES, 611 



SVR DEUX INVABIANTS NOUVEAU I BANS LA THEOBIE GENERALE DES SUR- 

 FACES ALGÉBRIQUES , par M. E. Picard. [Comptes rend. Acad. des 

 sciences, t. GXXII, 1896, p. loi-io^.) 



Tandis que, pour les courbes algébriques, le genre riemannien 

 est le seul invariant qui présente de l'intérêt, il est utile, dans la 

 théorie des surfaces algébriques , d'introduire le plus grand nombre 

 possible de nombres entiers offrant le caractère d'invariance pour 

 toute transformation birationnelle de la surface. 



M. Picard fait connaître deux invariants nouveaux. 



Il prend deux fonctions rationnelles, R, R^, dépendant de deux 

 paramètres arbitraires, et il forme les deux équations 



R(^,2/, ^) = w, 



que l'on suppose déterminer un nombre limité p de points de la 

 surface, variables avec u qï v^ pour lesquels le déterminant fonc- 

 tionnel de X et y, par rapport à w et à y, n'est pas identiquement 

 nul. 



Soit TT le nombre des points qui, parmi ces p points, peuvent 

 être pris arbitrairement pour un système donné de valeurs de u et 

 v; la différence p— tt aura, pour toutes les fonctions rationnelles 

 possibles R et Rj, un certain minimum D qui sera différent de zéro 

 (si la surface n'appartient pas à une certaine classe exceptionnelle). 

 D est le premier des invariants annoncés. 



Le second invariant r est le minimum de p fourni par toutes les 

 fonctions rationnelles R et Rj pour lesquelles la différence p — tt 

 atteint le minimum D. 



Dans le cas des courbes, on a D = o et r = 'p-\-i. 



Le fait que pour les surfaces D est en général différent de zéro 

 constitue une différence essentielle entre la théorie des courbes et 

 celle des surfaces. 



Sur les problèmes de variations relatifs aux intégrales doubles y 

 par M. KoENiGS. {Comptes rend. Acad. des sciences, t. GXXII, 1896, 

 p. 126-128.) 



On considère une surface S passant par un contour donné, et 



