ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 623 



Sur les fonctions uniformes définies par l'inversion de différen- 

 tielles TOTALES, par M. Paiinlevé. (^Comptes rend. Acad. des sciences, 

 t. GXXII, 1896, p. 660-662.) 



L'auteur étudie les fonctions uniformes x^ y de deux variables 

 M, V définies par Tinversion de deux différentielles totales 



(>) 



P(^, y)dx-{-Q(x, y)dy^du, 

 V^{x, y)dx -\-Q^{x, y)dy = dv, 



où P, Pj, Q, Oi sont algébriques en^, y. On peut toujours intro- 

 duire une variable z liée a x, y par la relation algébrique 



(2) S{x, y, z) = o, 



telle que P, P^, Q, Oi s'expriment rationnellement en x, y, z et 

 qu'inversement à un système de valeurs x, y, P, Pj, Q, Q^ ne cor- 

 responde qu'une valeur de z. Dans ces conditions, z est une fonction 

 uniforme du m, d en même temps que de x^ y. 



Soient maintenant Xq, î/q, Zq les valeurs de x, y, z pour m = o, 

 v==o; l'intégrale générale de (1), supposée uniforme, 



[ x = (p(u, v,XQ,y^,z^). 



(3) 2/= + (w, V, ^0, ^0, Zq), 

 ( z =x(^' ^■> ^0' 2/0' ^0)' 



de'finit une transformation biuniforme à deux paramètres u, v de 

 la surface S en elle-même. Deux cas généraux sont à distinguer, 

 suivant que cette transformation est ou non birationnelle. Dans les 

 deux cas, le nombre des périodes du couple d'intégrales abéliennes 

 u = J'^dx-^-Qdy, V = fV -^dx -\- Q ^^dy ne peut dépasser k. 



Premier cas : la transformation (3) est birationnelle; x, y, z 

 sont des fonctions abéliennes de u,v ou des dégénérescences; 



Deuxième cas : la transformation (3) est simplement biuniforme; 

 X, y, z s'expriment algébriquement en fonction d'une des combi- 

 naisons suivantes : 



1° M, e« + R(«); 

 Bévue des trav. scient. — T. XVII, n° 7. ^3 



