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Sur les lois de récipbocité, par M. Stouff. 

 [Comptes rend. Acad. des sciences, t. CXXIIl, 1896, p. ^86--/i88.) 



On sait qu'une des démonstrations de la loi de réciprocité dues 

 à Gauss repose sur le partage en deux classes des restes par rap- 

 port à un nombre donné. 



M. Stouff cherche à généraliser cette démonstration pour trouver 



la valeur du symbole 7ri.U où m est un entier premier non com- 



plexo, a une racine d'ordre m de Tunité, /(a) ---2 a;a} un entier 

 complexe premier. '^' 



Il démontre que ce symbole ne dépend que des restes des «j par 

 rapport à certaines puissances de m, puissances dont les exposants 

 ne dépendent aussi que de m. 



Sur les systèmes algébriques et leurs relations avec certains sys- 

 tÈmes d'Équations aux dérivées partielles, par M. Delassus. 

 (Comptes rend. Acad. des sciences, t. GXXIII, 1896, p. 566-5/i8.) 



Soit 2 un système différentiel à une inconnue 2; et à m variables 

 x^, x.2'> • ' '^ ^m^ et dont chaque équation O = o a pour premier 

 membre une fonction linéaire, homogène et à coefficients constants 

 des dérivées partielles d'un même ordre de z. 



Soit S le système algébrique homogène et à m inconnues ob- 

 tenu en remplaçant dans toutes les équations <ï> chaque dérivée 



par le monôme correspondant ^^' . . . ^^"'. 



dxt' . . . dx'^J^ 



Il y a entre 2 et S des relations très étroites, celle-ci entre 

 autres : 



Dès que, par un procédé quelconque, on connaît les degrés des 

 diverses multiplicités qui composent la solution générale de S, on 

 connaît par là même le nombre et la nature des fonctions arbi- 

 traires qui figurent dans l'intégrale générale de 2. 



Ou, d'une façon plus précise, en considérant les S comme des 

 surfaces en coordonnées homogènes à m— 1 dimensions : 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale géné- 

 rale de 2 contienne /3j, 13^, . . ., (Sm^^, /3m -1 fonctions arbitraires 

 à m — 1, m — 2, . . ., 9, 1 variables respectivement, est que l'in- 



