ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 777 



où les u sont des fonctions rationnelles arbitraires, vérifie une équa- 

 tion linéaire, à coefficients rationnels, d'ordre n^ 



Il arrivera, en général, que certaines solutions de (i) vérifieront 

 une équation 



W /(W'V,-...,S)-, 



entière par rapport à V et à ses dérivées, et dont les coefficients 

 sont des fonctions déterminées au point a, c'est-à-dire admettant a 

 pour point ordinaire ou pour pôle. 



Parmi toutes les équations /on considère celle qui est d'ordre 



moindre et de moindre degré en j-j. On démontre que l'intégrale 



générale de celle-là appartient à l'équation (i). 



De plus, lesjt? constantes X^, X2, . . ., Xp qui figurent dans cette 

 intégrale générale y entrent algébriquement. Soient ^/i, 2/2' • • •' !/« 

 le système fondamental correspondant à une solution particulière V^ 

 et Y^, Y2, . . ., Y^ le système fondamental correspondant à Tinté- 

 grale générale V. On a 



1 



I;j = ^^)l^j — [— . . . -\- dnnyri' 



Les quantités a dépendent algébriquement de Xj, X2, . . ., X,j, 

 et ces équations définissent un groupe algébrique à p paramètres. 



Ainsi se trouve défini un groupe ga attacbé à la singularité a^ 

 Ce groupe possède les deux propriétés fondamentales suivantes, 

 déjà relevées par M. Klein dans le cas particulier où tous les points 

 singuliers de l'équation sont réguliers : 



i*' Toute fonction rationnelle àe x^ y^^ ij^^^ . . .^ ijn eX àQ leurs 

 dérivées, déterminée au point a, reste invariable quand on effectue 

 sur ^j, î/2, . . ., î/„ les substitutions du groupe ga\ 



2° Toute fonction rationnelle de ^, î/j, 2/2, . . . , 2/n et de leurs 

 dérivées qui reste invariable par les substitutions du groupe ga est 

 une fonction de x déterminée au point a. 



