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Les divers groupes //„, gb, . . ., attachés aux points singuliers 

 rt, b, ... de l'équation différentielle, sont des sous-groupes du 

 groupe de transformations G conside'ré par M. Picard. 



(le groupe G est le plus petit groupe algébrique contenant le 

 gi'oupe de monodromie et les groupes ga, gh, . . . 



Sur les singvlabitÉs des équations de la dynamique et sur le pro- 

 blème DES TROIS CORPS, par M. Painlevé. [Comptes rend. Acad. des 

 sciences, t. GXXIII, 1896, p. 871-873.) 



L'auteur établit, touchant les positions singulières d'un système 

 matériel en mouvement, des propositions générales dont nous ne 

 relaterons que les conséquences relatives au problème des n corps. 



Quand le temps croît à partir de /=o, ou bien Jes n corps 

 occupent à chaque instant des positions déterminées et distinctes 

 avec des vitesses déterminées et finies; 



Ou bien, quand t tend vers t^ , deux au moins des n corps tendent 

 vers le même point déterminé de l'espace; il y a choc à l'instant t^; 



Ou bien, quand t tend vers t^^ v (quatre au moins) des n corps 

 ne tendent vers aucune position limite; le minimum des distances 

 mutuelles de ces v points tend alors vers zéro, sans qu'aucune de 

 ces distances tende constamment vers zéro. 



D'après cela, trois hypothèses sont possibles suivant les condi- 

 tions initiales : 



Ou bien les distances mutuelles des n corps restent toujours su- 

 périeures à une quantité positive a; les paramètres Xi[t), qui déter- 

 minent leurs positions, peuvent se développer sous forme de séries 



entières par rapport à t== ^, X étant une constante; 



Ou bien la limite inférieure des distances mutuelles entre et t 

 tend vers zéro quand t croît indéfiniment, sans s'annuler jamais; 

 les Xi(t) se laissent développer en séries de polynômes 



(1) ^i(<) = ;^p;(t,x»,...,<,«;o,...,<o); 



Ou bien cette limite inférieure tend vers zéro quand t tend vers 

 \; les Xi{t) peuvent être développés sous la forme (1) pour t<zt^, 

 mais ne peuvent être calculés au delà. 



