ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 863 



Sur une équation linÉaibe aui dérivées partielles du second ordre, 

 par M. Le Roux. (^Comptes rend. Acad. des sciences, t. CXXIII, 

 1896, p. io52-io5^.) 



Il s agit de l'équation 



(1) — _ + -A-A — =0. 



^ '' ôxoy x — aôx x — aôy 



Elle admet une intégrale dépendant d'un paramètre arbitraire 



Cette intégrale possède la caractéristique singulière acciden- 

 telle j^ = a. La caractéristique x = a, qui est singulière pour les 

 coefficients, ne l'est plus pour z{x^ y^ a). L'existence d'une singu- 

 larité accidentelle supprime ou modifie la singularité propre. 



M. Darboux a fait voir que l'intégration générale des équations 

 de Laplace revient au calcul d'une intégrale particulière, définie 

 par des conditions initiales parfaitement déterminées. Cette fonc- 

 tion fondamentale est représentée dans le cas des équations (1) par 

 la formule 



z{x, y, x^, y^) 



{a-x^){a-a) 



OÙ l'intégrale par rapport à a est évaluée dans le sens positif sui- 

 vant un contour fermé simple renfermant la ligne x^^x sans la 

 couper, mais ne contenant pas le point a. 



Un cas particulier intéressant est celui où (p(x) se réduit à une 

 constante /S. 



On a, dans ce cas, 



z{x,y,a) = e'^-\^j—J , 

 et, en supposant ^" < ^' 



z{x,y,XQ, 2/0) 

 x — a A^ \x — aj i.fx.3...n \ ' '' ^ x~a ] 



F désignant la série hypergéométrique. 



