ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 871 



qu'il établit dans la seconde partie de son mémoire lui fournissent 

 un procédé pour obtenir toutes les unités d'un pareil corps. L'algo- 

 rithme qu'il expose, appliqué à la recherche d'un corps cubique à 

 discriminant positif, est analogue à la résolution de l'équation de 

 Pell à l'aide de la formation d'une période de formes quadratiques 

 binaires indéfinies réduites d'après la méthode de Gauss. 



Sur le mémoire de Riemann relatif au nombre des nombres premiers 



INFÉRIEURS 1 UNE GRANDEUR DONNEE, par M. VON MaNGOLDT. (AllH. 



de V Ecole normale, 3^ série, t. XllI, 1896, p. 61-78.) 



Riemann a énoncé et, dans une certaine mesure, démontré ces 

 deux propositions : 



(T T T \ 

 — loff 1 racines 



réelles de l'équation J(a) = ; 

 ff s*" La série 



2[Li(..^+-) + Li(.-")], 



lorsque ses termes sont rangés suivant les grandeurs croissantes de 

 a, converge vers la même valeur limite que 





lorsque b croît indéfiniment. 7-) 



Mais il convient lui-même que ces propositions ont besoin d'une 

 démonstration plus rigoureuse. 



S'appuyant sur les résultats obtenus par M. Hadamard [Etude 

 sur les propriétés des fonctions entières, etc., Journal de mathématiques, 

 k^ série, t. IX, 1898), M. von xVIangoldt fait voir comment on peut 

 démontrer complètement le deuxième des résultats de Riemann et 

 justifier le premier au moins en admettant que le nombre des racines 

 dont les parties réelles sont comprises entre o et T est représenté, 

 aux grandeurs d'ordre inférieur près, par l'expression ci-dessus. 



L'analyse de M. von Mangoldt conduit encore à d'autres résul- 

 tats. Si l'on parvenait à démontrer que les racines de l'équation 



