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^(t) == i) sont toutes réelles, ou même seulement que les parties 

 imaginaires de ces racines sont comprises entre des limites plus 

 étroites que — -^i et -\-^i, les développements exposés par Tauteur 

 fourniraient à la théorie des nombres une série de lois asymptotiques. 

 Ainsi la somme des logarithmes de tous les nombres premiers de 

 1 à ^ serait égale à x lui-même pour de très grandes valeurs de x , 

 proposition déjà énoncée par M. E. Cahen. 



Sur les fonctions de deux variables réelles, par M. Borel. 

 {Ann. de VEcole normale, 3^ série, t. XIII, 1896, p. 79-9^.) 



M. Borel étend aux fonctions de deux variables réelles un théo- 

 rème qu'il a démontré dans sa thèse au sujet d'une seule variable 

 réelle. En voici Ténoncé : 



r Toute fonction de deux variables réelles x et y, ayant des déri- 

 vées partielles de tous les ordres à l'intérieur et sur le périmètre 

 d'un carrç défini par les inégalités 



peut être mise sous la forme 



f{x , ^) = 22 (A^, cos irjSy + B^« sin tt/Sî/ + C^,^'')^"- 



a. S 



+ {K, cos TT/Si/ + B:, sin TT/Sî/ + C^^y') cos irax 

 + {K, cos 7r[3y + K, sin TT^y + Gly) sin irax, 



les constantes A«,, . . ., C'^^ étant telles que l'on ait pour toutes les 

 valeurs de ;? et ^ 



les nombres nipq ne dépendant pas de a, ni de /3. v 



Ce développement présente cet intérêt que toutes les dérivées 

 partielles de la fonction s'obtiennent par la dérivation terme à terme 

 de la série. 



