ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 879 



satisfaisant à Tune quelconque des inégalités 



2(a,î)^'Afj^).-^l ...(2^-2)^0 (l/=l,2, ...,2^-2). 



En continuant ainsi, on déterminera de proche en proche toutes 

 les fonctions/^, . . . ,/fc, dont la dernière sera une intégrale du sys- 

 tème jacobien 



satisfaisant à l'inégalité A^'^"*"'^)^ 1 . . . A;^o. 



L'auteur apphque cette méthode générale à des exemples où les 

 calculs peuvent être menés jusqu'au bout. 



Étude sur les équations fonctionnelles , par M. A. Grévy. 

 {Annales de F Ecole normale, 3® série, t. XIII, 1896, p. 295-338.) 



Dans un précédent Mémoire [Ann. de V Ecole normale, 189/1), 

 M. A. Grévy avait étudié les solutions des équations fonctionnelles 

 dans le voisinage d'un point limite à convergence régulière : il 

 étend celte étude au cas de la convergence périodique. 



Si l'on répète k fois la substitution | z, (p(z) |, on aboutit à une 

 équation qu'on peut représenter par z — Ç)]t(z) = 0. Si a^^ est racine 

 de cette équation, sans l'être d'aucune équation d'indice inférieur, 

 on dit que Xq appartient à l'indice k. Les quantités ^^ , a?^ , . . . , a?^- 1 , 

 où X =(p(xi_i), appartiennent toutes à l'indice k, et elles sont 

 permutées circulairement par la substitution \z, (p{z)\; leur en- 

 semble constitue un groupe circulaire de k racines. 



Ce groupe est un groupe circulaire limite si le module du pro- 

 duit a = aQa^ ' - - ^k-i^ où ai=(p\xij, est plus petit que 1. Tout 

 point Xi du groupe est un point limite à convergence régulière pour 

 la substitution \z^ ^k(^)\' Si Ton entoure chaque point d'un cercle Cj, 

 la substitution \z, Ç>{z)\ mène d'un cercle au suivant, et dans chaque 

 cercle on a une suite de points qui convergent vers le centre. 



Ces résultats sont dus à M. Kœnigs, qui en a déduit la solution 

 de l'équation fonctionnelle 



dans le cas où a est différent de zéro. 



